Question

已知函数f(x)=ln

1+2x

+mx．
（I）若f（x）为定义域上的单调函数，求实数m的取值范围；
（II）当m=1，且1≥a＞b≥0时，证明：

4

3

＜

f(a)-f(b)

a-b

＜2．

Answer 1

分析：（I）整理函数求出函数的定义域，对函数求导，根据定义域得到函数的导函数小于0不能恒成立，所以只能整理导函数大于0恒成立，分离参数得到结论．
（II）当m=1时，构造新函数g（x），对新函数求导，得到新函数在[0，1]上递增，利用递增函数的定义，写出递增所满足的条件，在构造新函数h（x），同理得到函数在[0，1]上递减，得到递减的条件，得到结论．

解答：解：（I）f(x)=ln

1+2x

+mx=

1

2

ln(1+2x)+mx(x＞-

1

2

)，
∴f′(x)=

1

1+2x

+m．
对x＞-

1

2

，

1

1+2x

＞0，故不存在实数m，
使f′(x)=

1

1+2x

+m＜0对x＞-

1

2

恒成立，
由f′(x)=

1

1+2x

+m≥0对x＞-

1

2

恒成立得，
m≥-

1

1+2x

对x＞-

1

2

恒成立
而-

1

1+2x

＜0，故m≥0
经检验，当m≥0时，f′(x)=

1

1+2x

+m＞0对x＞-

1

2

恒成立
∴当m≥0时，f（x）为定义域上的单调递增函数．
（II）证明：当m=1时，令g(x)=f(x)-

4

3

x=

1

2

ln(1+2x)-

1

3

x
g′(x)=

1

1+2x

-

1

3

=

2(1-x)

3(1+2x)

，
在[0，1]上总有g′（x）≥0，
即g（x）在[0，1]上递增
∴当1≥a＞b≥0时，g（a）＞g（b），
即f(a)-

4

3

a＞f(b)-

4

3

b?

f(a)-f(b)

a-b

＞

4

3

．
令h(x)=f(x)-2x=

1

2

ln(1+2x)-x，
由（2）知它在[0，1]上递减，
∴h（a）＜h（b）
即f(a)-2a＜f(b)-2b?

f(a)-f(b)

a-b

＜2
综上所述，当m=1，且1≥a＞b≥0时，

4

3

＜

f(a)-f(b)

a-b

＜2．

点评：本题考查函数的单调性与导数的关系，考查根据需要构造新函数，考查递增函数的定义，考查函数的恒成立问题，考查解决问题的能力和分析问题的能力，是一个中档题．