题目内容
点D，E，F分别是△ABC三边AB，BC，CA的中点，求证：（1）
| AB |
| BE |
| AC |
| CE |
（2）
| EA |
| FB |
| DC |
| 0 |
分析：（1）利用图形和向量加法的三角形法则，证明左边等于右边；
（2）利用图形和向量加法的三角形法则，分别求出
、
和
，再把它们加在一起，由中点和向量相等证明出左边等于
．
（2）利用图形和向量加法的三角形法则，分别求出
| EA |
| FB |
| DC |
| 0 |
解答：证明：（1）由向量加法的三角形法则得，
+
=
，
同理可得，
+
=
，
∴
+
=
+
，
（2）由向量加法的三角形法则得，
=
+
，
同理可得，
=
+
，
=
+
，
∴左边=
+
+
=
+
+
+
+
+
=
+
+
+
①，
∵点D，E，F分别是△ABC三边AB，BC，CA的中点，
∴
=
，代入①得，左边=
+
+
=
+
，
又∵
=
，∴左边=
=右边，
故等式成立．
| AB |
| BE |
| AE |
同理可得，
| AC |
| CE |
| AE |
∴
| AB |
| BE |
| AC |
| CE |
（2）由向量加法的三角形法则得，
| EA |
| EB |
| BA |
同理可得，
| FB |
| FC |
| CB |
| DC |
| DB |
| BC |
∴左边=
| EA |
| FB |
| DC |
| EB |
| BA |
| FC |
| CB |
| DB |
| BC |
| EB |
| BA |
| FC |
| DB |
∵点D，E，F分别是△ABC三边AB，BC，CA的中点，
∴
| FC |
| AF |
| EB |
| BF |
| DB |
| EF |
| DB |
又∵
| EF |
| BD |
| 0 |
故等式成立．
点评：本题的考点是向量加法以及几何意义，主要考查了三角形法则以及向量相等的应用，注意利用图形进行化简和证明．
练习册系列答案
相关题目
19、如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，点D、E、F分别是BC、AC1、BB1的中点．
（2012•广安二模）如图，在三棱锥P-ABC中，PB⊥面ABC，∠ABC=90°，AB=BC=2，∠PAB=45°，点D，E，F分别是AC，AB，BC的中点．
，给出下列四个等式：①
②
；
；④
.