Question

已知{a_n}是等比数列，公比为q，设S_n=a₁+a₂C_n¹+a₃C_n²+…+a_n+1C_nⁿ（其中n＞2，n∈N₊），且S_n¹=C_n⁰+C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ，如果

lim

n→∞

Sn

S 1 n

存在，求公比q的取值范围．

Answer 1

分析：根据等比数列的通项公式可表示出a_n，和S_n¹，进而求得Sn，代入

lim

n→∞

Sn

S n 1

中，根据|

1+q

2

|＜1或

1+q

2

=1求得q的范围．

解答：解：由题意a_n=a₁•q^n-1，S_n¹=2ⁿ，
Sn=a₁+a_1qC_n¹+a_1q²C_n²++a_1qⁿC_nⁿ
=a₁（1+qC_n¹+q²C_n²++qⁿC_nⁿ）
=a₁（1+q）ⁿ（q≠0）
∴

Sn

S 1 n

=

a1(1+q)n

2n

=a1(

1+q

2

)n．
如果

lim

n→∞

Sn

S 1 n

存在，则|

1+q

2

|＜1或

1+q

2

=1，
∴-2＜1+q＜2或q=1，
则-3＜q≤1且q≠0．
故答案为-3＜q≤1且q≠0．

点评：本题主要考查等比数列的求和．属基础题．