Question

已知点H(0，―3)，点P在x轴上，点Q在y轴正半轴上，点M在直线PQ上，且满足，．

(1)当点P在x轴上移动时，求动点M的轨迹曲线C的方程；

(2)过定点A(a，b)的直线与曲线C相交于两点S、R，求证：抛物线S、R两点处的切线的交点B恒在一条直线上．

Answer 1

答案：
解析：

答案：； (1)解：设P(a，0)，Q(0，b) 则：　∴ 设M(x，y)∵ ∴　 ∴ (2)解法一：设A(a，b)，，(x1≠x2) 则：直线SR的方程为：，即4y =(x1+x2)x－x1x2 ∵A点在SR上，∴4b=(x1+x2)a－x1x2　① 对求导得：y′=x ∴抛物线上S、R处的切线方程为： 即4　　② 即4　③ 联立②③，并解之得 ，代入①得：ax－2y－2b=0 故：B点在直线ax－2y－2b=0上 解法二：设A(a，b) 当过点A的直线斜率不存在时l与抛物线有且仅有一个公共点，与题意不符，可设直线SR的方程为y－b=k(x－a) 与联立消去y得：x2－4kx+4ak－4b=0 设，(x1≠x2) 则由韦达定理： 又过S、R点的切线方程分别为：， 联立，并解之得 (k为参数) 消去k，得：ax－2y－2b=0 故：B点在直线2ax－y－b=0上