Question

线段|BC|=4，BC中点为M，点A与B，C两点的距离之和为6，设|AM|=y，|AB|=x．
（1）求y=f（x）的函数表达式及函数的定义域；
（2）试求y的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先看A，B，C不共线时，根据三角形中线的性质可求得2（|BM|²+|AM|²）=|AB|²+|AC|²，进而利用两点间的距离公式代入等式中求得x和y的关系式，再看A，B，C三点共线时，|AB|+|AC|=6＞|BC|推断出A在线段BC外侧，利用|6-x-x|=4求得x的值，代入2（|BM|²+|AM|²）=|AB|²+|AC|²也符合，最后综合可得函数f（x）的解析式，利用根号大于等于0的性质求得x的范围即函数的定义域．
（2）把（1）函数的解析式，利用二次函数的性质和函数的定义求得y的最大和最小值．

解答：解：（1）当A、B、C三点不共线时，由三角形中线性质知2（|BM|²+|AM|²）=|AB|2+|AC|2?2(22+y2)=x2+(6-x)2?

y2=5+(x-3)2 又y≥0

?y=

(x-3)2+5

；
当A，B，C三点共线时，由|AB|+|AC|=6＞|BC|=4?A在线段BC外侧，
由|6-x-x|=4?x=1或x=5，因此，当x=1或x=5时，有|AB|+|AC|=6，
同时也满足：2（|BM|²+|AM|²）=|AB|²+|AC|²．当A、B、C不共线时，||AB|-|AC||＜|BC|=4?1＜x＜5?y=f(x)=

(x-3)2+5

定义域为[1，5]．
（2）由y=

(x-3)2+5

且x∈[1，5]，
∴当x=3时，ymin=

5

．当x=1或5时，ymax=

22+5

=3．
∴y的取值范围为[

5

，3]．

点评：本题主要考查了两点间的距离公式的应用，函数思想的运用，二次函数的性质以及分类讨论的思想的运用．综合考查了学生分析问题和解决问题的能力．