题目内容

已知向量 $数学公式$ （ω＞0），函数 $数学公式$ ，且f（x）图象上一个最高点为P $数学公式$ ，与P最近的一个最低点的坐标为 $数学公式$ ．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设a为常数，判断方程f（x）=a在区间 $数学公式$ 上的解的个数；
（3）在锐角△ABC中，若 $数学公式$ ，求f（A）的取值范围．

解：（1） $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．…（3分）
∵f（x）图象上一个最高点为P $\text{[math]}$ ，与P最近的一个最低点的坐标为 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，∴T=π，于是 $\text{[math]}$ ．…（5分）
所以 $\text{[math]}$ ．…（6分）
（2）当x∈ $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，由 $\text{[math]}$ 图象可知：
当 $\text{[math]}$ 时，f（x）=a在区间 $\text{[math]}$ 上有二解； …（8分）
当 $\text{[math]}$ 或a=2时，f（x）=a在区间 $\text{[math]}$ 上有一解；
当 $\text{[math]}$ 或a＞2时，f（x）=a在区间 $\text{[math]}$ 上无解．…（10分）
（3）在锐角△ABC中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
又 $\text{[math]}$ ，故 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．…（11分）
在锐角△ABC中， $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．…（13分）
$\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，…（15分）
∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
即f（A）的取值范围是 $\text{[math]}$ ．…（16分）
分析：（1）由已知中向量 $\text{[math]}$ （ω＞0），函数 $\text{[math]}$ ，根据向量的数量积的定义，可得函数f（x）的解析式（含参数），进而根据f（x）图象上一个最高点为P $\text{[math]}$ ，与P最近的一个最低点的坐标为 $\text{[math]}$ ，求出参数的值，即可得到答案．
（2）根据正弦型函数的图象和性质，分析函数f（x）在区间 $\text{[math]}$ 上的图象和性质，即可得到答案．
（3）由锐角△ABC中，若 $\text{[math]}$ ，可以求出A的范围，结合（1）中函数的解析式可得f（A）的取值范围．
点评：本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，三角函数中的恒等变换，正弦型函数的图象和性质，其中根据已知条件，确定函数的解析式是解答本题的关键．