Question

已知不等式

1

sin2θ

+

a

cos2θ

≥9对任意θ∈R且θ≠kπ+

π

2

(k∈Z)恒成立，则正实数a的最小值为（　　）

A．2

B．4

C．6

D．8

Answer 1

分析：将

1

sin2θ

+

a

cos2θ

乘以sin²θ+cos²θ=1，然后利用基本不等式建立不等关系，解之即可求出a的范围，从而求出所求．

解答：解：（sin²θ+cos²θ）（

1

sin2θ

+

a

cos2θ

）
=1+a+

cos2θ

sin2θ

+

asin2θ

cos2θ

≥1+a+2

a

≥9
∴(

a

)2+2

a

-8≥0
即(

a

-2)(

a

+4)  ≥0
则

a

≥2即a≥4
故正实数a的最小值为4
故选B．

点评：本题主要考查了基本不等式的应用，以及恒成立问题和不等式的解法，属于中档题．