题目内容

已知向量 $数学公式$ ， $数学公式$ ，x∈R，设函数 $数学公式$
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值及相应的自变量x的取值集合；
（II）当 $数学公式$ 且 $数学公式$ 时，求 $数学公式$ 的值

（Ⅰ）∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ =（sinx，cosx+sinx）•（2cosx，cosx-sinx）=2sinxcosx+cos²x-sin²x（1分）
=sin2x+cos2x（3分）
= $\text{[math]}$ （4分）
∴函数f（x）取得最大值为 $\text{[math]}$ ．（5分）
相应的自变量x的取值集合为{x| $\text{[math]}$ （k∈Z）}（7分）
（II）由 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$
因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，从而 $\text{[math]}$ （9分）
于是 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ （14分）
分析：（Ⅰ）通过向量关系求出数量积，然后利用二倍角公式、两角和的正弦函数化简函数为： $\text{[math]}$ ，即可求函数f（x）的最大值，借助正弦函数的最大值求出相应的自变量x的取值集合；
（II）当 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 时，直接得到 $\text{[math]}$ ，求出 $\text{[math]}$ ，化简 $\text{[math]}$ 的表达式，利用两角和的正弦函数，整体代入 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求得 $\text{[math]}$ 的值．
点评：本题是中档题，考查了向量的数量积的计算，二倍角和两角和的正弦函数，三角函数的最值，考查转化思想，整体代入思想，合理应用角的变形，二倍角公式的转化，是本题的难点，注意总结应用．