题目内容

设x≥0时，f（x）=2；x＜0时，f（x）=1．又规定g（x）=2f（x+1）-f（x-2）试写出y=g（x）的表达式，并画出其图象．
分析：依题意，对x的范围分类讨论，即可求得y=g（x）的表达式，画出其图象即可．
解答：解：∵x≥0时，f（x）=2；x＜0时，f（x）=1，g（x）=2f（x+1）-f（x-2），
∴当
x+1＜0
x-2＜0
，即x＜-1时，g（x）=2-1=1；
当
x+1≥0
x-2＜0
，即-1≤x＜2时，g（x）=2f（x+1）-f（x-2）=4-1=3；
当
x+1≥0
x-2≥0
，即x≥2时，g（x）=2f（x+1）-f（x-2）=4-2=2；
∴g（x）=
1，x＜-1
3，-1≤x＜2
2，x≥2
，其图象如下：
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点评：本题考查抽象函数及其应用，考查分段函数解析式的求解方法，考查函数图象的作法，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
设函数f(x)=
a
2
x2+
x+1
ex
-1(e为自然对数的底数）．
（1）若x≥0时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围；
（2）求证：对于大于1的正整数n，恒有1+
1
n
＜
ne
＜1+
1
n-1
成立．
（2013•黄埔区一模）对于函数y=f（x）与常数a，b，若f（2x）=af（x）+b恒成立，则称（a，b）为函数f（x）的一个“P数对”；若f（2x）≥af（x）+b恒成立，则称（a，b）为函数f（x）的一个“类P数对”．设函数f（x）的定义域为R+，且f（1）=3．
（1）若（1，1）是f（x）的一个“P数对”，求f（2n）（n∈N*）；
（2）若（-2，0）是f（x）的一个“P数对”，且当x∈[1，2）时f（x）=k-|2x-3|，求f（x）在区间[1，2n）（n∈N*）上的最大值与最小值；
（3）若f（x）是增函数，且（2，-2）是f（x）的一个“类P数对”，试比较下列各组中两个式子的大小，并说明理由．
①f（2-n）与2-n+2（n∈N*）；
②f（x）与2x+2（x∈（0，1]）．
设f(x)=2(log2x)2+2alog2
1
x
+b，已知x=
1
2
时，f（x）有最小值-8．
（1）求a与b的值；
（2）在（1）的条件下，求f（x）＞0的解集A；
（3）设集合B=[t-
1
2
，t+
1
2
]，且A∩B=∅，求实数t的取值范围．
设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+2）=f（x）恒成立；当x∈[0，1]时，f（x）=x3-4x+3．有下列命题：
①f(-
3
4
) ＜f(
15
2
)；
②当x∈[-1，0]时f（x）=x3+4x+3；
③f（x）（x≥0）的图象与x轴的交点的横坐标由小到大构成一个无穷等差数列；
④关于x的方程f（x）=|x|在x∈[-3，4]上有7个不同的根．
其中真命题的个数为（　　）

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