题目内容
已知一动圆P与定圆（x-1）2+y2=1和y轴都相切，（1）求动圆圆心P的轨迹M的方程；
（2）过定点A（1，2），作△ABC，使∠BAC=90°，且动点B，C在P的轨迹M上移动（B，C不在坐标轴上），问直线BC是否过某定点？证明你的结论．
分析：（1）利用动圆P与定圆（x-1）2+y2=1和y轴都相切得到关于动圆圆心P等式，整理可得动圆圆心P的轨迹M的方程；
（2）先利用∠BAC=90°求出B、C的坐标之间的关系式以及BC的直线方程，再利用B、C是抛物线上的点代入，可以观察出直线BC所过的定点坐标．
（2）先利用∠BAC=90°求出B、C的坐标之间的关系式以及BC的直线方程，再利用B、C是抛物线上的点代入，可以观察出直线BC所过的定点坐标．
解答：解：（1）设动点P的坐标为（x，y），由题设知：
-1=|x|3′
化简得：x＞0时，y2=4x．
x＜0时，y=0
所以 P点的轨迹方程为y2=4x（x＞0）和y=0（x＜0）6′
（2）设B、C的坐标为（x1，y1）、（x2，y2），又A（1，2）
∵∠BAC=90°，∴
•
=(x1-1，y1-2)•(x2-1，y2-2)=0
即（x1-1）（x2-1）+（y1-2）（y2-2）=0①
而BC的直线方程为（x2-x1）（y-y1）=（y2-y1）（x-x1）②8′
∵B、C在抛物线y2=4x上，
∴x1=
，x2=
代入①式化简得-2（y1+y2）-y1y2=20③10′
把x1=
，x2=
代入②式化简得BC的方程为（y1+y2）y-y1y2=4x④12′
对比③④可知，直线BC过点（5，-2），
∴直线BC恒过一定点（5，-2）14′
| (x-1)2+y2 |
化简得：x＞0时，y2=4x．
x＜0时，y=0
所以 P点的轨迹方程为y2=4x（x＞0）和y=0（x＜0）6′
（2）设B、C的坐标为（x1，y1）、（x2，y2），又A（1，2）
∵∠BAC=90°，∴
| AB |
| AC |
即（x1-1）（x2-1）+（y1-2）（y2-2）=0①
而BC的直线方程为（x2-x1）（y-y1）=（y2-y1）（x-x1）②8′
∵B、C在抛物线y2=4x上，
∴x1=
| y12 |
| 4 |
| y22 |
| 4 |
把x1=
| y12 |
| 4 |
| y22 |
| 4 |
对比③④可知，直线BC过点（5，-2），
∴直线BC恒过一定点（5，-2）14′
点评：在求动点的轨迹方程方程时，一般多时利用条件列出关于动点坐标的等式，再整理此等式即可．
练习册系列答案
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，0），并且与定圆C：
（圆心为C）相切．
？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．