Question

（2014•江门模拟）已知函数f(x)=

1-2-x，x≥0 2x-1，x＜0

，则该函数是（　　）

A．非奇非偶函数，且单调递增

B．偶函数，且单调递减

C．奇函数，且单调递增

D．奇函数，且单调递减

Answer 1

分析：由题意，根据题设条件及选项可判断出，可先由定义判断函数的奇偶性，再由函数的单调性的判断方法判断出函数是一个增函数，由此可以判断出正确选项

解答：解：此函数的定义域是R
当x≥0时，有f（x）+f（-x）=1-2^-x+2^-x-1=0
当x＜0时，有f（x）+f（-x）=1-2^x+2^x-1=0
由上证知，此函数是一个奇函数，
又x≥0时，函数1-2^-x是一个增函数，最小值是0；x≤0时，函数2^x-1是一个增函数，最大值为0，
所以函数函数f(x)=

1-2-x，x≥0 2x-1，x＜0

在定义域上是增函数
综上，函数f(x)=

1-2-x，x≥0 2x-1，x＜0

在定义域上是增函数，且是奇函数
故选C

点评：本题考查函数奇偶性与单调性的判断，熟练掌握函数奇偶性判断方法与函数单调性的判断方法是解题的关键．