Question

经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量（件）与价格（元）均为时间t（天）的函数，且日销售量近似满足g（t）=80-2t（件），当日价格近似满足f（t）=

25- 1 2 t，10≤t≤20 15+ 1 2 t，0≤t≤10

（元）．
（1）试写出该种商品的日销售额y与时间t（0≤t≤20）的函数表达式；
（2）求该种商品的日销售额y的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据y=g（t）•f（t），可得该种商品的日销售额y与时间t（0≤t≤20）的函数表达式；
（2）分段求最值，可求该种商品的日销售额y的最大值．

解答：解：（1）y=g（t）•f（t）=

(30+t)(40-t)，0≤t＜10 (40-t)(50-t)，10≤t≤20

；
（2）当0≤t＜10时，y=（30+t）（40-t）=-（t-5）²+1225，
∴y的取值范围是[1200，1225]，在t=5时，y取得最大值为1225；
当10≤t≤20时，y=（50-t）（40-t）=（t-45）²-25，
∴y的取值范围是[600，1200]，在t=10时，y取得最小值为1200．
∴第5天，日销售额y取得最大，为1225元．
答：日销售额y最大为1225元．

点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数最值的研究，考查学生的计算能力，正确确定函数解析式是关键．