Question

设f(k)是满足不等式log₂x＋log₂(3×2^k－1－x)≥2k－1(k∈N₊)的自然数x的个数．

(1)求f(k)的解析式；

(2)记S_n＝f(1)＋f(2)＋…＋f(n)，求S_n的解析式；

(3)令P_n＝n²＋n－1(n∈N₊)，试比较S_n与P_n的大小．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由已知不等式可得 　　 　　2k－1≤x≤2k，从而f(k)＝2k－2k－1＋1＝2k－1＋1． 　　(2)Sn＝f(1)＋f(2)＋…＋f(n) 　　＝20＋21＋…＋2n－1＋n 　　＝2n＋n－1． 　　(3)Sn－Pn＝2n－n2． 　　当n＝1时，21－12＞0；当n＝2时，22－22＝0； 　　当n＝3时，23－32＜0；当n＝4时，24－42＝0； 　　当n＝5时，25－52＞0；当n＝6时，26－62＞0． 　　猜想：当n≥5时，Sn＞Pn． 　　下面用数学归纳法证明： 　　①当n＝5时，Sn＞Pn，上面已证； 　　②假设n＝k时，Sk＞Pk，即2k＞k2， 　　则n＝k＋1时， 　　∵Sk－Pk+1＝2k+1－(k－1)2＞2k2－(k＋1)2＝(k－1)2－2， 　　当k≥5时，(k－1)2－2＞0，∴Sk+1＞Pk+1． 　　故当n≥5时，总有Sn＞Pn成立． 　　综上可知：当n＝1或n≥5时，有Sn＞Pn； 　　当n＝2或n＝4时，Sn＝Pn； 　　当n＝3时，Sn＜Pn．