题目内容
已知函数与为常数)的图象关于直线x=1对称,
且x=1是的一个极值点.
(1)求出函数的表达式和单调区间;
(2)若已知当时,不等式恒成立,
求m的取值范围. (注:若)。
解析:
(Ⅰ)设是函数f(x)的图象上任意一点,则易求得P点关于直线x=1的对称点为
,依题意知点在y=g(x)的图象上,
∴y=aln(2-x)-(2-x)2
∴f(x)=aln(2-x)-(2-x)2 ?????????????????2分
∴
∵x=1是f(x)的一个极值点,∴
∴a=2 ?????????????????3分
∴f(x)的表达式是f(x)=2ln(2-x)-(2-x)2,(x<2) ?????????????????4分
∴
∵f(x)定义域是(―∞,2),∴只有x=1是f(x)的极值点
又当x<1时,>0
当1<x<2时,<0 ??????????????????5分
∴f(x)的单调递增区间是(―∞,1),单调递减区间是(1,2)??????????????????6分
(写出也对)
(Ⅱ)由<0
得<―, ??????????????????7分
∴+<m<- ?????????????????8分
∴<m<在x∈[-2,-1]时恒成立 ?????????????????9分
故只需求出在x∈[-2,-1]时的最大值和在x∈[-2,-1]时的最小值,
即可求得m的取值范围。 ????????????????10分
当x∈[-2,-1]时
∵=ln≤ln ????????????????12分
=≥ ????????????????13分
∴m的取值范围是(0,)