题目内容

已知函数为常数)的图象关于直线x=1对称,

且x=1是的一个极值点.

      (1)求出函数的表达式和单调区间;

      (2)若已知当时,不等式恒成立,

求m的取值范围. (注:若)。

解析

   (Ⅰ)设是函数f(x)的图象上任意一点,则易求得P点关于直线x=1的对称点为

       ,依题意知点在y=g(x)的图象上,

       ∴y=aln(2-x)-(2-x)2

       ∴f(x)=aln(2-x)-(2-x)2                                                                                     ?????????????????2分

       ∴

       ∵x=1是f(x)的一个极值点,∴

       ∴a=2                                                                                     ?????????????????3分

       ∴f(x)的表达式是f(x)=2ln(2-x)-(2-x)2,(x<2)                      ?????????????????4分

       ∴

       ∵f(x)定义域是(―∞,2),∴只有x=1是f(x)的极值点

       又当x<1时,>0

       当1<x<2时,<0                                                      ??????????????????5分

       ∴f(x)的单调递增区间是(―∞,1),单调递减区间是(1,2)??????????????????6分

   (写出也对)

   (Ⅱ)由<0

       得<―,                                              ??????????????????7分

       ∴+<m<-                            ?????????????????8分

       ∴<m<在x∈[-2,-1]时恒成立             ?????????????????9分

       故只需求出在x∈[-2,-1]时的最大值和在x∈[-2,-1]时的最小值,

       即可求得m的取值范围。                                                       ????????????????10分

       当x∈[-2,-1]时

       ∵=ln≤ln                     ????????????????12分

       =              ????????????????13分

       ∴m的取值范围是(0,

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