题目内容
某种商品在30天内每克的销售价格P（元）与时间t的函数图象是如图所示的两条线段AB，CD（不包含A，B两点）；该商品在30天内日销售量Q（克）与时间t（天）之间的函数关系如表所示．| 第t天 | 5 | 15 | 20 | 30 |
| 销售量Q克 | 35 | 25 | 20 | 10 |
（2）根据表中数据写出一个反映日销售量Q随时间t变化的函数关系式；
（3）在（2）的基础上求该商品的日销售金额的最大值，并求出对应的t值．
（注：日销售金额=每克的销售价格×日销售量）
【答案】分析：（1）设AB所在的直线方程为P=kt+20，将B点代入可得k值，由CD两点坐标可得直线CD所在的两点式方程，进而可得销售价格P（元）与时间t的分段函数关系式．
（2）设Q=k1t+b，把两点（5，35），（15，25）的坐标代入，可得日销售量Q随时间t变化的函数的解析式
（3）设日销售金额为y，根据销售金额=销售价格×日销售量，结合（1）（2）的结论得到答案．
解答：解：（1）由图可知 A（0，20），B（25，45），C（25，75），D（30，70），
设AB所在的直线方程为P=kt+20，
把B（25，45）代入P=kt+20得 k=1． …（1分）
所以lAB：P=t+20． …（2分）
由两点式得CD所在的直线方程为
． …（3分）
整理得，P=-t+100，25≤t≤30，…（4分）
所以
． …（5分）
（2）设Q=k1t+b，把两点（5，35），（15，25）的坐标代入得
，
解得
…（6分）
所以Q=-t+40． …（7分）
把点（20，20），（30，10）代入Q=-t+40也适合，
即对应的四点都在同一条直线上，…（8分）
所以Q=-t+40（0＜t≤30）． …（9分）
（本题若把四点中的任意两点代入Q=k1t+b中求出k1，b，再验证也可以）
（3）设日销售金额为y，依题意得，
当0＜t＜25时，y=（t+20）（-t+40），
配方整理得 y=-（t-10）2+900． …（10分）
所以当t=10时，y在区间（0，25）上的最大值为900，…（11分）
当25≤t≤30时，y=（-t+100）（-t+40），
配方整理得y=（t-70）2-900，…（12分）
所以当t=25时，y在区间[25，30]上的最大值为1125． …（13分）
综上可知日销售金额最大值为1125元，此时t为25． …（14分）
点评：本小题主要考查具体的函数模型在实际问题中的应用，考查数形结合、化归转化的数学思想方法，以及应用意识和运算求解能力
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设AB所在的直线方程为P=kt+20，
把B（25，45）代入P=kt+20得 k=1． …（1分）
所以lAB：P=t+20． …（2分）
由两点式得CD所在的直线方程为
． …（3分）整理得，P=-t+100，25≤t≤30，…（4分）
所以
． …（5分）（2）设Q=k1t+b，把两点（5，35），（15，25）的坐标代入得
，解得
…（6分）所以Q=-t+40． …（7分）
把点（20，20），（30，10）代入Q=-t+40也适合，
即对应的四点都在同一条直线上，…（8分）
所以Q=-t+40（0＜t≤30）． …（9分）
（本题若把四点中的任意两点代入Q=k1t+b中求出k1，b，再验证也可以）
（3）设日销售金额为y，依题意得，
当0＜t＜25时，y=（t+20）（-t+40），
配方整理得 y=-（t-10）2+900． …（10分）
所以当t=10时，y在区间（0，25）上的最大值为900，…（11分）
当25≤t≤30时，y=（-t+100）（-t+40），
配方整理得y=（t-70）2-900，…（12分）
所以当t=25时，y在区间[25，30]上的最大值为1125． …（13分）
综上可知日销售金额最大值为1125元，此时t为25． …（14分）
点评：本小题主要考查具体的函数模型在实际问题中的应用，考查数形结合、化归转化的数学思想方法，以及应用意识和运算求解能力
练习册系列答案
科学实验活动册系列答案
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