Question

某种商品在30天内每件的销售价格P（元）与时间t（t∈N^*）（天）的函数关系用如图的两条线段表示，该商品在30天内日销售量Q（件）与时间t（t∈N^*）（天）之间的关系如下表：

第1天	5	15	20	30
Q件	35	25	20	10

（Ⅰ）根据提供的图象，写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系；
（Ⅱ）根据表中提供的数据，确定日销售量Q与时间t的一个函数关系式；
（Ⅲ）求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？（日销售金额=每件的销售价格×日销售量）

Answer 1

分析：（I）由已知中的函数图象，利用待定系数法，分别求出两段函数图象对应的解析式，进而可得该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系；
（Ⅱ）根据表中提供的数据，利用待定系数法，可得日销售量Q与时间t的一个函数关系式；
（Ⅲ）由（I），（II）可得日销售金额的解析式，利用二次函数的图象和性质，可得答案．

解答：解：（I）由已知得：
当0＜t＜25时，设P=kt+b
由图象过（0，20），（30，70）点可得：

b=20 25k+b=45

解得

k=1 b=20

故P=t+20
当25≤t≤30时，设P=kt+b
由图象过（25，75），（25，45）点可得：

25k+b=75 30k+b=70

解得

k=-1 b=100

故P=-t+100
综上所述，商品每件的销售价格P与时间t的函数关系为：P=

t+20(0＜t＜25，t∈N*) -t+100(25≤t≤30，t∈N*)

（II）设日销售量Q与时间t的一个函数关系式为：Q=kt+b
由表格中数据（5，35），（30，10）得

5k+b=35 30k+b=10

解得

k=-1 b=40

故日销售量Q与时间t的一个函数关系式为：Q=-t+40（0＜t≤30，t∈N^*）；
（III）由（I）（II）可得商品的日销售金额与时间t的函数关系式满足
y=PQ，即y=

-t2+20t+800，(0＜t＜25，t∈N*) t2-140t+4000，(25≤t≤30，t∈N*)

当0＜t＜25时，t=10时，函数取最大值900
当25≤t≤30时，t=25时，函数取最大值1125
综上可得：当t=25时，日销售金额最大，且最大值为1125元．

点评：本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的图象和性质是解答的关键．