Question

已知点P是圆C：（x-5）²+（y-5）²=r² （r＞0）上一点，P关于点A（5，0）的对称点为Q，把点P绕圆心C（5，5）逆时针方向转过90⁰后得点R，求P在圆C上运动时，|QR|的最大值与最小值．

Answer 1

分析：根据圆的标准方程，可知圆的参数方程，进而可得Q，R的坐标，再计算|QR|，进而可求|QR|的最大值与最小值

解答：解：设圆的参数方程为

x=5+rcosθ y=5+rsinθ

（θ为参数，0≤θ＜2π）
∴P（5+rcosθ，5+rsinθ），
∵P关于点A（5，0）的对称点为Q，
∴Q（5-rcosθ，-5-rsinθ）
∵把点P绕圆心C（5，5）逆时针方向转过90⁰后得点R，
∴R（5-rsinθ，5+rsinθ）
∴|QR|2=2r2+20

2

rsin(θ+

π

4

)+10
∵r＞0，-1≤sin(θ+

π

4

)≤1
∴当θ=

π

4

时，|QR|的最大值为

2

r+10
当θ=

5π

4

时，|QR|的最大值为|

2

r-10|

点评：本题重点考查圆的标准方程与圆的参数方程，考查三角函数的值域，解题的关键是利用参数方程，假设点的坐标．