题目内容

从原点O引圆(x-m)2+(y-3)2=m2+4的切线y=kx,切点为P,当m变化时,
(1)求切点P的轨迹方程.
(2)记P的轨迹为曲线C,判断直线
3
x+y-4=0
与曲线C的位置关系,若相交,求出相交弦的长度.
分析:(1)设切点P的坐标为(x,y),利用切线过原点,则k=
y
x
(x≠0),通过k•kPM=-1,以及切点在圆上,推出轨迹方程.
(2)判断轨迹方程是圆的方程,求出圆心与半径,利用点到直线的距离公式判断直线与圆的位置关系,利用垂径定理求出弦长即可.
解答:解:(1)设切点P的坐标为(x,y),
因为切线过原点,则k=
y
x
(x≠0),
(x-m)2+(y-3)2=m2+4的圆心M的坐标为(m,3),
kPM=
y-3
x-m
由于圆M与直线相切,
所以k•kPM=-1,
y
x
y-3
x-m
=-1

(x-m)2+(y-3)2=m2+4
可化为x2-2mx+y2-6y=-5②
由①②可得P的轨迹方程为x2+y2=5(x≠0)(8分)
(2)由(1)知,曲线C的圆心为C(0,0),
半径r=
5
,圆心到直线的距离
d=2<r,故曲线C与直线
3
x+y-4=0
相交,
设曲线C与直线
3
x+y-4=0
交于AB两点,
AB的中点为D,则CD⊥AB,
在Rt△ACD,|AD|=
r2-d2
=1

故|AB|=2|AD|=2(14分)
点评:本题考查轨迹方程的求法,直线与圆的位置关系,垂径定理的应用,考查计算能力.
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