题目内容

已知θ∈R，复数z1=1+cosθ+isinθ，z2=1-cosθ+isinθ．
（1）求证：|z1•z2|=|z1|•|z2|；
（2）求|2z1-z2|的最值．
分析：（1）利用复数的运算法则分别计算z1•z2，|z1|，|z2|，即可得出|z1•z2|，|z1|•|z2|．
（2）计算2z1-z2，可得|2z1-z2|．再根据二次函数的单调性和余弦函数的单调性即可得出．
解答：解：（1）∵z1•z2=（1+cosθ+isinθ）•（1-cosθ+isinθ）=1-cos2θ+[（1+cosθ）sinθ+（1-cosθ）sinθ]i-sin2θ
=2isinθ，|z1|=
(1+cosθ)2+(sinθ)2
=
2+2cosθ
，|z2|=
(1-cosθ)2+(sinθ)2
=
2-2cosθ
．
∴|z1•z2|=2|sinθ|，|z1|•|z2|=
2+2cosθ
•
2-2cosθ
=2
1-cos2θ
=2|sinθ|．
（2）∵2z1-z2=2（1+cosθ+isinθ）-（1-cosθ+isinθ）=1+3cosθ+isinθ．
∴|2z1-z2|=
(1+3cosθ)2+sin2θ
=
8(cosθ+
3
8
)2+
7
8
，
当cosθ=1时，|2z1-z2|取得最大值，∴|2z1-z2|max=
8×(
11
8
)2+
7
8
=4．
当cosθ=-
3
8
时，|2z1-z2|取得最小值，∴|2z1-z2|min=
0+
7
8
=
14
4
．
点评：本题考查了复数的运算法则、二次函数的单调性和余弦函数的单调性、三角函数的平方关系，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知a∈R，复数z1=
a-i1-i
，z2=z1i（其中i表示虚数单位）
（1）z1=-i，求实数a的值；
（2）a＞0且Imz2-Rez2=3，求|z2|的值．

已知a∈R，复数z1＝2＋ai，z2＝1－2i，若为纯虚数，则复数的虚部为________．
已知a∈R，复数z1=
a-i
1-i
，z2=z1i（其中i表示虚数单位）
（1）z1=-i，求实数a的值；
（2）a＞0且Imz2-Rez2=3，求|z2|的值．
对于i,有i4n=___________,i4n+1=___________,i4n+2=___________,i4n+3=___________ (n∈N).?

已知两个复数z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、d∈R),则z1±z2=___________;z1·z2=___________;特别地,若z=a+bi(a、b∈R),则z·=___________;?

=　　　　　　　　　　.

      

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网