解方程组$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=52}\\{xy+x+y=34}\end{array}\right.$．题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

4．解方程组

{\begin{matrix} x^{2} + y^{2} = 52 x y + x + y = 34 \end{matrix}

$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=52}\\{xy+x+y=34}\end{array}\right.$ ．

分析令x+y=a，xy=b，可得x²+y²=（x+y）²-2xy=a²-2b，原方程组变为： $\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-2b=52}\\{a+b=34}\end{array}\right.$ ．由a+b=34可得：b=34-a，代入a²-2b=52，解得a，b，再利用一元二次方程的根与系数的关系即可得出．

解答解：令x+y=a，xy=b，
则x²+y²=（x+y）²-2xy=a²-2b，
∴原方程组变为： $\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-2b=52}\\{a+b=34}\end{array}\right.$ ，
由a+b=34可得：b=34-a，
代入a²-2b=52，化为a²+2a-120=0，
解得a=10，或a=-12．
∴ $\left\{\begin{array}{l}{a=10}\\{b=24}\end{array}\right.$ ，或 $\left\{\begin{array}{l}{a=-12}\\{b=46}\end{array}\right.$ ．
∴ $\left\{\begin{array}{l}{x+y=10}\\{xy=24}\end{array}\right.$ ，或 $\left\{\begin{array}{l}{x+y=-12}\\{xy=46}\end{array}\right.$ ，
由此可把x，y分别看做以下一元二次方程的两个实数根：
t²-10t+24=0，t²+12t-46=0，
分别解得t=4，6；t=-6± $\sqrt{82}$ ．
∴原方程组的解为 $\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=6}\end{array}\right.$ ， $\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=4}\end{array}\right.$ ， $\left\{\begin{array}{l}{x=-6+\sqrt{82}}\\{y=-6-\sqrt{82}}\end{array}\right.$ ， $\left\{\begin{array}{l}{x=-6-\sqrt{82}}\\{y=-6+\sqrt{82}}\end{array}\right.$ ．

点评本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、方程组的解法、换元法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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ˆ y

$\widehat{y}$ =

$\widehat{b}$ x+

$\widehat{a}$
（2）据此估计广告费用为6万元时的销售收入y（万元）的值．
（参考公式中

$\widehat{b}$ =

$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$ =

$\frac{\overline{xy}-\overline{x}\overline{y}}{\overline{{x}^{2}}-{\overline{x}}^{2}}$ ，

$\widehat{a}$ =

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