Question

已知抛物线方程为x²=4y，过点M（2，3）作直线l交抛物线于A、B两点，且M为线段AB中点．
（1）求直线l的方程；
（2）求线段AB的长．

Answer 1

分析：（1）设直线l：y-3=k（x-2），将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用中点坐标公式即可求得k值，从而解决问题．
（2）由（1）知一元二次方程x²-4x-4=0，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得P值，从而解决问题．

解答：解：（1）设直线l：y-3=k（x-2）代入x²=4y消去y并整理得x²-4kx+8k-12=0，
依题意得x₁+x₂=4k=4，k=1，
此时直线方程为y=x+1．（6分）
（2）由（1）知x²-4x-4=0，|AB|=

1+k2

|x2-x1|=

2

(x1+x2)2-4x1x2

=8．（12分）

点评：本题主要考查直线与抛物线的位置关系，是对知识的综合考查，属于中档题目．在研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般常把直线与圆锥曲线方程联立，易错点在与忘记限制对应判别式．