Question

在直角坐标系xoy上取两个定点A₁（-2，0），A₂（2，0），再取两个动点N₁（0，m），N₂（0，n），且mn=3．则直线A₁N₁与A₂N₂交点的轨迹M的方程

x2

4

+

y2

3

=1（x≠±2）

．

Answer 1

分析：由已知中定点A₁（-2，0），A₂（2，0），和动点N₁（0，m），N₂（0，n）的坐标，利用两点式，可得直线A₁N₁的方程和直线A₂N₂的方程，两式相乘得y²=-

1

4

（mn）（x²-4），代入mn=3，整理后可得轨迹M的方程．

解答：解：∵定点A₁（-2，0），A₂（2，0），动点N₁（0，m），N₂（0，n），
则直线A₁N₁的方程为：y=

m

2

（x+2）…①
则直线A₂N₂的方程为：y=-

n

2

（x-2）…②
设Q（x，y）是直线A₁N₁与直线A₂N₂的交点
①×②得
y²=-

1

4

（mn）（x²-4）
由mn=3得
y²=-

3

4

（x²-4）
整理得

x2

4

+

y2

3

=1
∵N₁（0，m），N₂（0，n）均不与原点重合
故A₁（-2，0），A₂（2，0）不在轨迹M上
∴直线A₁N₁与A₂N₂交点的轨迹M的方程为

x2

4

+

y2

3

=1（x≠±2）
故答案为：

x2

4

+

y2

3

=1（x≠±2）

点评：本题考查的知识点是与直线有关的动点轨迹方程，其中由已知求出直线A₁N₁的方程和直线A₂N₂的方程，并将两式相乘消去mn，是解答的关键，最后易忽略A₁（-2，0），A₂（2，0）不在轨迹M上．