Question

在直角坐标系xoy上取两个定点A₁（-2，0），A₂（2，0），再取两个动点N₁（0，m），N₂（0，n），且mn=3．
（1）求直线A₁N₁与A₂N₂交点的轨迹M的方程；
（2）已知点A（1，t）（t＞0）是轨迹M上的定点，E，F是轨迹M上的两个动点，如果直线AE的斜率k_AE与直线AF的斜率k_AF满足k_AE+k_AF=0，试探究直线EF的斜率是否是定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由．

Answer 1

分析：（1）先分别求直线A₁N₁与A₂N₂的方程，进而可得y2=-

mn

4

(x2-4)，利用mn=3，可以得

x2

4

+

y2

3

=1，又点A₁（-2，0），A₂（2，0）不在轨迹M上，故可求轨迹方程；
（2）先求点A的坐标(1，

3

2

)，将直线AE的方程代入

x2

4

+

y2

3

=1并整理，利用k_AE+k_AF=0得k_AF=-k，从而可表示直线EF的斜率，进而可判断直线EF的斜率为定值．

解答：解：（1）依题意知直线A₁N₁的方程为：y=

m

2

(x+2)①---（1分）
直线A₂N₂的方程为：y=-

n

2

(x-2)②----------（2分）
设Q（x，y）是直线A₁N₁与A₂N₂交点，①×②得y2=-

mn

4

(x2-4)
由mn=3整理得

x2

4

+

y2

3

=1-----------------（5分）
∵N₁，N₂不与原点重合∴点A₁（-2，0），A₂（2，0）不在轨迹M上-----------------（6分）
∴轨迹M的方程为

x2

4

+

y2

3

=1（x≠±2）-----------------------------------（7分）
（2）∵点A（1，t）（t＞0）在轨迹M上∴

1

4

+

t2

3

=1解得t=

3

2

，即点A的坐标为(1，

3

2

)--（8分）
设k_AE=k，则直线AE方程为：y=k(x-1)+

3

2

，代入

x2

4

+

y2

3

=1并整理得(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4(

3

2

-k)2-12=0----------------------------------（10分）
设E（x_E，y_E），F（x_F，y_F），∵点A(1，

3

2

)在轨迹M上，
∴xE=

4( 3 2 -k)2-12

3+4k2

------③，yE=kxE+

3

2

-k④--------------（11分）
又k_AE+k_AF=0得k_AF=-k，将③、④式中的k代换成-k，
可得xF=

4( 3 2 +k)2-12

3+4k2

，yF=-kxF+

3

2

+k------------（12分）
∴直线EF的斜率KEF=

yF-yE

xF-xE

=

-k(xF+xE)+2k

xF-xE

∵xE+xF=

8k2-6

4k2+3

，xF-xE=

24k

4k2+3

∴KEF=

-k• 8k2-6 4k2+3 +2k

24k 4k2+3

=

-k(8k2-6)+2k(4k2+3)

24k

=

1

2

即直线EF的斜率为定值，其值为

1

2

---（14分）

点评：本题主要考查交轨法求轨迹方程，应注意纯粹性，（2）的关键是求出直线EF的斜率的表示，通过化简确定其伟定值，考查了学生的计算能力，有一定的综合性．