题目内容
已知函数在点
处的切线方程为
(1)求函数的解析式;
(2)若对于区间[-2,2]上任意两个自变量的值都有
求实数c的最小值.
【答案】
(1) f(x)=x3-3x. (2) c的最小值为4.
【解析】
试题分析:(1)f′(x)=3ax2+2bx-3.
根据题意,得
即 解得
所以f(x)=x3-3x.
(2)令f′(x)=0,即3x2-3=0,得x=±1.
x |
-2 |
(-2,-1) |
-1 |
(-1,1) |
1 |
(1,2) |
2 |
f′(x) |
|
+ |
|
- |
|
+ |
|
f(x) |
-2 |
|
极大值 |
|
极小值 |
|
2 |
因为f(-1)=2,f(1)=-2,
所以当x∈[-2,2]时,f(x)max=2,f(x)min=-2.
( 需列表格或者说明单调性,否则扣2分)
则对于区间[-2,2]上任意两个自变量的值x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤|f(x)max-f(x)min|=4,
所以c≥4.即c的最小值为4.
考点:本题主要考查导数的几何意义,应用导数研究函数的单调性、最值,待定系数法。
点评:典型题,本题属于导数应用中的基本问题,首先利用待定系数法,求得函数解析式,为进一步解题奠定了基础。利用“表解法”写出函数单调性、极值,直观明了。
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