题目内容

已知函数在点处的切线方程为

(1)求函数的解析式;

(2)若对于区间[-2,2]上任意两个自变量的值都有求实数c的最小值.

 

【答案】

(1) f(x)=x3-3x.  (2) c的最小值为4.

【解析】

试题分析:(1)f′(x)=3ax2+2bx-3.

根据题意,得

 解得

所以f(x)=x3-3x. 

(2)令f′(x)=0,即3x2-3=0,得x=±1.

x

-2

(-2,-1)

-1

(-1,1)

1

(1,2)

2

f′(x)

 

 

 

 

f(x)

-2

?

极大值

?

极小值

?

2

因为f(-1)=2,f(1)=-2,

所以当x∈[-2,2]时,f(x)max=2,f(x)min=-2.

( 需列表格或者说明单调性,否则扣2分)

则对于区间[-2,2]上任意两个自变量的值x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤|f(x)max-f(x)min|=4,

所以c≥4.即c的最小值为4.

考点:本题主要考查导数的几何意义,应用导数研究函数的单调性、最值,待定系数法。

点评:典型题,本题属于导数应用中的基本问题,首先利用待定系数法,求得函数解析式,为进一步解题奠定了基础。利用“表解法”写出函数单调性、极值,直观明了。

 

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