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【题目】(选做题)[选修4-4:坐标系与参数方程]

已知曲线C的参数方程为 (θ为参数).以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标方程.
(1)求曲线C的极坐标方程;
(2)若直线l:θ=α(α∈[0,π),ρ∈R)与曲线C相交于A,B两点,设线段AB的中点为M,求|OM|的最大值.

【答案】
(1)

解:曲线C的普通方程为(x+1)2+(y﹣1)2=4,

由x=ρcosθ,y=ρsinθ,得ρ2+2ρcosθ﹣2ρsinθ﹣2=0.


(2)

解:联立θ=α和ρ2+2ρcosθ﹣2ρsinθ﹣2=0,

得ρ2+2ρ(cosα﹣sinα)﹣2=0,

设A(ρ1,α),B(ρ2,α),

则ρ12=2(cosα﹣sinα)=2

由|OM|= ,得|OM|=

当α= 时,|OM|取最大值


【解析】( I)利用平方关系可得曲线C的普通方程,把x=ρcosθ,y=ρsinθ,代入即可得出.(II)联立θ=α和ρ2+2ρcosθ﹣2ρsinθ﹣2=0,得ρ2+2ρ(cosα﹣sinα)﹣2=0,设A(ρ1 , α),B(ρ2 , α),可得ρ12=2(cosα﹣sinα)=2 ,即可得出.

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