题目内容

【题目】设函数 为定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）判断函数f（x）在区间（a+1，+∞）上的单调性，并用定义法证明．

【答案】
（1）解：∵ 为定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，

∴f（﹣x）=﹣f（x），

∴ ，∴a=0


（2）解：函数f（x）在区间（1，+∞）上是增函数．

证明：设1＜x1＜x2，

则 ．

∵1＜x1＜x2，∴x1﹣x2＜0， ，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．

∴函数f（x）在区间（1，+∞）上是增函数


【解析】（1）利用 为定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，f（﹣x）=﹣f（x），即可求实数a的值；（2）利用函数单调性的定义进行证明．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数单调性的判断方法(单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较)，还要掌握函数奇偶性的性质(在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇)的相关知识才是答题的关键．

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