题目内容
已知数列{an}前n项和Sn满足an=2-2Sn.
(I)求a1,a2;
(II)求通项公式an;
(III)求证数列{Sn-1}为等比数列.
分析:(I)在a
n=2-2S
n,取n=1 求出a
1.再令n=2,化简计算即可求出a2.
(II)利用数列中a
n与 Sn关系
an=解决.
(III)由已知,当n≥2时,2-2S
n=a
n=S
n-S
n-1 即3S
n=2+S
n-1,变形构造可以得出3(S
n-1)=S
n-1-1,问题易解.
解答:解:(I) 在a
n=2-2S
n取n=1,则a
1=2-2S
1=2-2a
1∴a
1=
取n=2,则a
2=2-2S
2=2-2(a
1+a
2)=2-2(
+a
2)∴a
2=
.(2分)
(II)∵当n≥2时,a
n=S
n-S
n-1∴a
n-a
n-1=(2-2S
n)-(2-2S
n-1)=-2(S
n-S
n-1)=-2a
n∴a
n=
a
n-1,n≥2 又a
1=
∴a
n≠0,n∈N*
∴
=
∴{a
n}为等比数列,且公比为
∴a
n=
×(
)
n-1=
,n∈N*.(4分)
(III) 当n≥2时,2-2S
n=a
n=S
n-S
n-1 即:3S
n=2+S
n-1∴3(S
n-1)=S
n-1-1 又S
1-1=a
1-1=-
≠0
∴S
n-1≠0,n∈N*
∴
=
为常数
∴数列{S
n-1}为等比数列.(7分)
点评:本题考查由Sn求通项,等比数列的判定.考查变形转化、构造,计算、推理论证能力.
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