Question

【题目】已知圆，直线是圆与圆的公共弦所在直线方程，且圆的圆心在直线上．

（1）求公共弦的长度；

（2）求圆的方程；

（3）过点分别作直线，，交圆于，，，四点，且，求四边形面积的最大值与最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）最大值17，最小值12．

【解析】

（1）根据直线和圆相交求弦长用直角三角形勾股定理等价条件进行求解即可；

（2）圆的圆心在直线上，设圆心，求出圆心的半径即可得到圆的方程；

（3）对直线，分两种情况讨论，即当过点的互相垂直的直线，为轴，垂直于轴时和当过点的互相垂直的直线，不垂直于轴时，写出四边形面积的的表达式，再利用函数知识求最大值与最小值．

圆，所以圆的圆心坐标，半径，

（1）圆心到直线的距离，

公共弦；

（2）圆的圆心在直线上，设圆心，由题意得，，即，到的距离，所以的半径，

所以圆的方程：；

（3）当过点的互相垂直的直线，为轴，垂直于轴时，，这时直线的方程为，代入到圆中，，

所以，四边形的面积；

当过点的互相垂直的直线，不垂直于轴时，

设直线为：，

则直线为：，

所以圆心到直线的距离，圆心到直线的距离，，，

设，

当或1时，正好是轴及垂直轴，

面积，

当时，最大且，或1时，最小，

四边形面积的最大值17，最小值．