Question

如图，已知A₁B₁C₁—ABC是正三棱柱，D是AC中点.

（Ⅰ）证明：AB₁∥平面DBC₁；

（Ⅱ）（理）假设AB₁⊥BC₁，求以BC₁为棱的DBC₁与CBC₁为面的二面角α的度数.

（文）假设AB₁⊥BC₁，BC＝2，求线段AB₁在侧面B₁BCC₁上的射影长.

Answer 1

答案：
解析：

如图，（Ⅰ）证明：因为A1B1C1—ABC是三棱柱，所以四边形B1BCC1是矩形，连B1C与BC1交于E，则E为B1C的中点，连DE，D是AC的中点，所以ED∥AB1，又ED平面BDC1，AB1平面BDC1，所以AB1∥平面BDC1. （Ⅱ）解：（理）由已知平面ABC⊥平面BB1C1C，在平面ABC内作DF⊥BC，F为垂足，则DF⊥平面B1BCC1，连EF，EF为ED在平面B1BCC1上的射影. 由已知AB1⊥BC1，ED∥AB1，所以ED⊥BC1，由三垂线定理的逆定理知BC1⊥FE，所以∠DEF是二面角D—BC1—C的平面角，设AC＝1，则CD＝，DF＝DCsin60°＝，CF＝DCcos60°＝，BF＝，取BC的中点G，则GF＝，在Rt△BEF中，EF2＝BF·GF＝·＝，EF＝，tanDEF＝＝1，∠DEF＝45°，故以BC1为棱、DBC1与CBC1为面的二面角α的度数为45°. （文）作AF⊥BC，垂足为F.因为面ABC⊥面B1BCC1，所以AF⊥面B1BCC1.连B1F，则B1F是AB1在平面B1BCC1内的射影. ∵BC1⊥AB1  ∴BC1⊥B1F  ∵四边形B1BCC1是矩形 ∴∠B1BF＝∠BCC1＝90°，又∠FB1B＝∠C1BC ∴△B1BF∽△BCC1 ∴．又F为正三角形ABC的BC边的中点. 因而B1B2＝BF·BC＝1×2＝2  于是B1F2＝B1B2＋BF2＝3 ∴B1F＝ 即线段AB1在平面B1BCC1内的射影长为.