题目内容

(2006•咸安区模拟)函数f(x)是定义域为R的偶函数,且对任意的x∈R,均有f(x+2)=f(x)成立.当x∈[0,1]时,f(x)=loga(2-x)(a>1).
(1)当x∈[2k-1,2k+1](k∈Z)时,求f(x)的表达式;
(2)若f(x)的最大值为
1
2
,解关于x的不等式f(x)>
1
4
分析:(1)由f(x+2)=f(x)可得2是f(x)周期,当x∈[2k-1,2k]时,x-2k∈[-1,0),代入可得f(x)=loga[2+(x-2k)];当x∈[2k,2k+1](k∈Z)时,x-2k∈[0,1],代入可得f(x)=f(x-2k)=loga[2-(x-2k)].
(2)f(x)的最大值为
1
2
,求出a=4,再求x∈[-1,1时的解集,利用周期为2,可得不等式的解集..
解答:解:(1)当x∈[-1,0)时,f(x)=f(-x)=loga[2-(-x)]=loga(2+x).
当x∈[2k-1,2k)(k∈Z)时,x-2k∈[-1,0),f(x)=f(x-2k)=loga[2+(x-2k)].
当x∈[2k,2k+1](k∈Z)时,x-2k∈[0,1],f(x)=f(x-2k)=loga[2-(x-2k)].
故当x∈[2k-1,2k+1](k∈Z)时,f(x)的表达式为f(x)=
loga[2+(x-2k)],x∈[2k-1,2k)
loga[2-(x-2k)],x∈[2k,2k+1]

(2)∵f(x)是以2为周期的周期函数,且为偶函数,∴f(x)的最大值就是当x∈[0,1]时,f(x)的最大值.
∵a>1,∴f(x)=loga(2-x)在[0,1]上是减函数,∴[f(x)]max=f(0)=loga2=
1
2
,∴a=4.
当x∈[-1,1]时,由f(x)>
1
4
-1≤x<0
log4(2+x)>
1
4
0≤x≤1
log4(2-x)>
1
4

2
-2<x<2-
2

∵f(x)是以2为周期的周期函数,
f(x)>
1
4
的解集为{x|2k+
2
-2<x<2k+2-
2
,k∈Z}
点评:本题主要考查周期函数,解题的关键是正确利用周期,及已知定义域上的解析式,属于中档题.
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