Question

已知平面向量

OA

，

OB

满足：|

OA

|=|

OB

|=2，

OA

与

OB

的夹角为

π

2

，又

OP

=λ1

OA

+λ2

OB

，0＜λ1≤1，1≤λ2≤2，则点P的集合所表示的图形面积为（　　）

• A、8
• B、4
• C、2
• D、1

Answer 1

分析：本题考查的知识点是平面区域的面积，处理的方法是根据|

OA

|=|

OB

|=2，

OA

与

OB

的夹角为

π

2

，及

OP

=λ1

OA

+λ2

OB

，0＜λ1≤1，1≤λ2≤2，构造平面直角坐标系，将满足不等式表示的可行域表示出来，从而将P点对应的图形描述出来，即可求解．

解答：解：∵|

OA

|=|

OB

|=2，

OA

与

OB

的夹角为

π

2

∴不妨以O为原点，以OA方向为x轴正方向，
以OB方向为Y轴正方向建立坐标系
则

OA

=(2，0)，

OB

=(0，2)
又

OP

=λ1

OA

+λ2

OB

，0＜λ1≤1，1≤λ2≤2
令

OP

=(x，y)
则

OP

=(x，y)=（2λ₁，2λ₂）且0＜x≤2，2≤y≤4
其表示的平面区域如下图示：
由图可知阴影部分的面积为4
故选B

点评：平面区域的面积问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合有关面积公式求解．