Question

一个袋子中装有m个红球和n个白球（m＞n≥4），它们除颜色不同外，其余都相同，现从中任取两个球．
（1）若取出两个红球的概率等于取出一红一白两个球的概率的整数倍，求证：m必为奇数；
（2）若取出两个球颜色相同的概率等于取出两个颜色不同的概率，求满足m+n≤20的所有数组（m，n）．

Answer 1

分析：（1）首先分别求出从中取出两个红球的概率与取出一红一白两个球的概率之和，再根据题意列方程组并且进行整理可得：m-1=2nk，进而根据奇偶数的特征得到答案．
（2）首先由题意可得：取出两个球颜色相同的概率，再求出取出两个球的颜色不同（即两个球的颜色是一红一白）的概率，即可得到方程（m-n）²=m+n，再结合题中的条件求出m-n的取值是3，4，进而得到相应m+n的取值分别是9，16，再结合m＞n≥4求出答案．

解答：证明：（1）由题意可得：从中任取两个球的不同取法共有：C_m+n²种，
取出两个红球的不同取法有：C_m²=

m(m-1)

2

，
所以取出两个红球的概率为：

C 2 m

C 2 m+n

；
取出一红一白两个球的不同取法为：C_m¹C_n¹，
所以取出一红一白两个球的概率为：

C 1 m C 1 n

C 2 m+n

，
又因为取出两个红球的概率等于取出一红一白两个球的概率的整数倍，
所以

C 2 m

C 2 m+n

=k

C 1 m C 1 n

C 2 m+n

，即m-1=2nk，
因为2nk为偶数，
所以m-1为偶数，即m为奇数．
解：（2）由题意可得：取出两个球颜色相同即两个球都是红色或者都是白色，
因为取出两个白球的不同取法有：

C

2 n

 =

n(n-1)

2

，
所以取出两个白球的概率为：

C 2 n

C 2 m+n

，
由（1）可得：取出两个红球的概率为：

C 2 m

C 2 m+n

；
所以取出两个球颜色相同的概率等于

C 2 m + C 2 n

C 2 m+n

；
取出两个球的颜色不同即两个球的颜色是一红一白，
由（1）可得：取出一红一白两个球的概率为：

C 1 m C 1 n

C 2 m+n

．
因为取出两个球颜色相同的概率等于取出两个颜色不同的概率，
所以

C 2 m + C 2 n

C 2 m+n

=

C 1 m C 1 n

C 2 m+n

，即（m-n）²=m+n，
因为m＞n≥4，
所以m+n＞8，
又因为m+n≤20，
所以2

2

∠m-n≤

20

＜5，m-n的取值只可能是3，4，
所以相应m+n的取值分别是9，16，
可得 

m=6 n=3

或

m=10 n=6

，
因为m＞n≥4，
所以（m，n）的数组值为（10，6）．

点评：本题主要考查等可能事件的概率公式与排列、组合、计数原理的有关问题，解决此题的关键是挖掘题中的隐含条件以及熟练掌握组合数与排列数的计算公式，此题对学生运用所学知识灵活解决问题的能力要求较高，考查学生的计算能力，此题属于中档题目．