题目内容
已知数列{an}中，a1=
，点（n，2an+1-an）在直线y=x上，n∈N*．
（1）令bn=an+1-an-1，证明：{bn}为等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）设Sn、Tn分别为数列{an}、{bn}的前n项和，是否存在实数λ，使得数列{
}为等差数列？若存在，求出λ的值，并给出证明；若不存在，说明理由．
| 1 |
| 2 |
（1）令bn=an+1-an-1，证明：{bn}为等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）设Sn、Tn分别为数列{an}、{bn}的前n项和，是否存在实数λ，使得数列{
| Sn+λTn |
| n |
（1）证明：∵点（n，2an+1-an）在直线y=x上，∴2an+1-an=n
∵bn=an+1-an-1，∴2bn+1=an+1-an-1=bn，
∵a1=
，2an+1-an=n
∴a2=
，
∴b1=a2-a1-1=-
≠0
∴{bn}为等比数列；
（2）an+1-an=1+bn=1-
×(
)n-1
叠加可得：an=（an-an-1）+（an-an-1）+…+（a2-a1）+a1=n-2+3×(
)n
（3）存在λ=2，使数列{
}是等差数列．
Sn=
+3[1-(
)n]，Tn=
[(
)n-1]
∴
=
-
λ，
=
，
=
数列{
}是等差数列
∴2×
=
-
λ+
，∴λ=2
当λ=2时，
=
，数列是等差数列
∴当且仅当λ=2时，数列是等差数列．
∵bn=an+1-an-1，∴2bn+1=an+1-an-1=bn，
∵a1=
| 1 |
| 2 |
∴a2=
| 3 |
| 4 |
∴b1=a2-a1-1=-
| 3 |
| 4 |
∴{bn}为等比数列；
（2）an+1-an=1+bn=1-
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
叠加可得：an=（an-an-1）+（an-an-1）+…+（a2-a1）+a1=n-2+3×(
| 1 |
| 2 |
（3）存在λ=2，使数列{
| Sn+λTn |
| n |
Sn=
| n(n-3) |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴
| S1+λT1 |
| 1 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| S2+λT2 |
| 2 |
| 10-9λ |
| 16 |
| S3+λT3 |
| 3 |
| 42-21λ |
| 48 |
数列{
| Sn+λTn |
| n |
∴2×
| 10-9λ |
| 16 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 42-21λ |
| 48 |
当λ=2时，
| Sn+λTn |
| n |
| n-3 |
| 2 |
∴当且仅当λ=2时，数列是等差数列．
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A、
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B、
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C、
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D、
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