题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数),以原点
为极点,
轴为极轴的极坐标系中,圆
的方程
.
(1)写出直线的普通方程和圆
的直角坐标方程;
(2)若点的直角坐标为
,圆
与直线
交于
两点,求弦
中点
的直角坐标和
的值.
【答案】(1)直线的普通方程为
,圆
的直角坐标方程为
(2)弦的中点
,
【解析】
(1)消去参数t可得直线的参数方程,利用极坐标化直角坐标的方法可得圆的直角坐标.
(2)联立直线的参数方程和圆的直角坐标方程,结合参数方程的几何意义和韦达定理即可确定中点坐标和的值.
(1)由(
为参数),得直线
的普通方程为
.
又由得圆
的直角坐标方程为
,即
,
.
(2)直线的参数方程
代入圆
的直角坐标方程,
得,即
.
由于,故可设
是上述方程的两实数根,则
又直线过点
,
两点对应的参数分别为
,
弦的中点对应的参数
,
代入参数方程中得其直角坐标为
.
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