Question

已知各项都不相等的等差数列{a_n}的前六项和为60，且a₆为a₁和a₂₁的等比中项．
（I）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（II）若数列{bn}满足bn+1-bn=an(n∈N*)，且b1=3，求数列{bn}的通项公式bn；
（III）求数列{

1

bn-n

}的前n项和Tn．

Answer 1

分析：（I）设等差数列{a_n}的公差为d，由题意建立方程组，求得d和a₁，进而根据等差数列的通项公式和求和公式分别求得a_n及前n项和S_n．
（II）根据（I）中的a_n和b₁，根据b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…（b₂-b₁）+b₁，进而求得b_n ．
（III）由于

1

bn-n

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，故用裂项法求数列{

1

bn-n

}的前n项和T_n 的值．

解答：解：（I）设等差数列{a_n}的公差为d，由题意可得

6a1+ 6×5 2 d =60 (a1+5d)2= a1(a1+20d)

，解得 a₁=5，d=2，故a_n=2n+3．
（II）由题意可得 bn+1-bn=an(n∈N*)，且b1=3，
∴b₁=3，b₂-b₁=2+3，b₃-b₂=2×2+3，b₄-b₃=2×3+3，…b_n-b_n-1=2（n-1）+3，
累加可得b_n=n（n+2），且此公式对第一项也成立，故b_n=n（n+2）（n∈N^*）．
（III）∵

1

bn-n

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴数列{

1

bn-n

}的前n项和T_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

点评：本题主要考查等差数列的性质和用裂项法求和，注意由数列的性质，来确定求和的方法，属于中档题．