Question

已知各项都不相等的等差数列{a_n}的前六项和为60，且a₆为a₁和a₂₁的等比中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）若数列{b_n}满足b_n+1-b_n=a_n（n∈N^*），且b₁=3，求数列{

1

bn

}的前n项T_n．

Answer 1

分析：（I）设等差数列{a_n}的公差为d，由题意建立方程组，求得d和a₁，进而根据等差数列的通项公式和求和公式分别求得a_n及前n项和S_n．
（II）根据（I）中的a_n和b₁，根据b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…（b₂-b₁）+b₁，进而求得b_n，再利用裂项法求得{

1

bn

}．

解答：解：（I）设等差数列{a_n}的公差为d，
则

6a1+15d=60 a1(a1+20d)=(a1+5d)2

解得

d=2 a1=5.

∴a_n=2n+3．
Sn=

n(5+2n+3)

2

=n(n+4)
（II）由b_n+1-b_n=a_n，∴b_n-b_n-1=a_n-1（n≥2，n∈N^*）．
当n≥2时b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…（b₂-b₁）+b₁
=a_n-1+a_n-2++a₁+b₁=（n-1）（n-1+4）+3
=n（n+2）
对b₁=3也适合∴b_n=n（n+2）（n∈N^*）
∴

1

bn

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)．
Tn=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

++

1

n

-

1

n+2

)=

1

2

(

3

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)
=

3n2+5n

4(n+1)(n+2)

．

点评：本题主要考查等差数列的性质和用裂项法求和，注意由数列的性质，来确定求和的方法．