Question

已知曲线C：y=

x3

3

-4x+

2

3

（I）求在点M（1，-3）处曲线C的切线方程；
（Ⅱ）若过点N（1，n）作曲线C的切线有三条，求实数n的取值范围．

Answer 1

分析：（I）先求导数f'（x），欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
（II）先将过点N（1，n）可作曲线y=f（x）的三条切线转化为：方程2x₀³-3x₀²+10+3n=0（*）有三个不同实数根，记g（x）=2x₀³-3x₀²+10+3n，下面利用导数研究函数g（x）的零点，从而求得n的范围．

解答：解：（I）f'（x）=x²-4，f'（1）=-3，（2分）
∴曲线y=f（x）在M（1，-3）处的切线方程为y+3=-3（x-1），即3x+y=0（4分）
（II）过点N（1，n）向曲线y=f（x）作切线，设切点为（x₀，y₀）
则y₀=

1

3

x₀³-4x₀+

2

3

，k=f'（x₀）=x₀²-4．
则切线方程为y-（

1

3

x₀³-4x₀+

2

3

）=（x₀²-4）（x-x₀）（6分）
将N（1，n）代入上式，整理得2x₀³-3x₀²+10+3n=0．
∵过点N（1，n）可作曲线y=f（x）的三条切线
∴方程2x₀³-3x₀²+10+3n=0（*）有三个不同实数根、（8分）
记g（x）=2x₀³-3x₀²+10+3n，g'（x）=6x²-6x=6x（x-1），
令g'（x）=0，x=0或1、（10分）
则x，g'（x），g（x）的变化情况如下表

x	（-∞，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
g'（x）	+	0	-	0	+
g（x）	递增	极大	递减	极小	递增

当x=0，g（x）有极大值10+3n；x=1，g（x）有极小值9+3n，（12分）
由题意有，当且仅当

g(0)＞0 g(1)＜0

，即

10+3n＞0 9+3n＜0

，-

10

3

＜n＜-3时，
函数g（x）有三个不同零点、
此时过点N可作曲线y=f（x）的三条不同切线．故m的范围是(-

10

3

，-3)（14分）

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．