题目内容
若向量
=(
cosωx，sinωx)，
=(sinωx，0)，其中ω＞0，记函数f(x)=(
+
)•
-
，若函数f（x）的图象与直线y=m（m为常数）相切，并且切点的横坐标依次成公差为π的等差数列．
（1）求f（x）的表达式及m的值；
（2）将函数y=f（x）的图象向左平移
，得到y=g（x）的图象，当x∈(
，
)时，g（x）=cosα的交点横坐标成等比数列，求钝角α的值．
| a |
| 3 |
| b |
| a |
| b |
| b |
| 1 |
| 2 |
（1）求f（x）的表达式及m的值；
（2）将函数y=f（x）的图象向左平移
| π |
| 12 |
| π |
| 2 |
| 7π |
| 4 |
分析：（1）由
=(
cosωx，sinωx)，
=(sinωx，0)，知f(x)=(
+
)•
-
=
sinωxcosωx+sin2ωx-
=sin(2ωx-
)，由此能求出f（x）的表达式及m的值．（2）将f(x)=sin(2x-
)的图象向左平移
，得到g（x）=sin2x，由其对称性，可设交点横坐标分别为x1，
-x1，π+x1，由此能求出钝角α的值．
| a |
| 3 |
| b |
| a |
| b |
| b |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 12 |
| 3π |
| 2 |
解答：解：（1）∵
=(
cosωx，sinωx)，
=(sinωx，0)，
∴f(x)=(
+
)•
-
=（
cosωx+sinωx，sinωx）•（sinω，0）
=
sinωxcosωx+sin2ωx-
=sin（2ωx-
）．（4分）
由题意可知其周期为π，
∴
=π，
故ω=1，
则f(x)=sin(2x-
)，
∴由正弦型曲线的性质知：m=±1．（6分）
（2）将f(x)=sin(2x-
)的图象向左平移
，
得到y=sin[2(x+
)-
]=sin2x，
∴g（x）=sin2x，（8分）
∵g（x）=cosα，
∴sin2x=cosα，
∴由三角函数图象的周期性，可设交点横坐标分别为x1，
-x1，π+x1，
∵当x∈(
，
)时，g（x）=cosα的交点横坐标成等比数列，
∴(
-x1)2=x1(π+x1)，则x1=
π（12分）
∴cosα=sin
=-sin
=cos
，
∴α=
．（4分）
| a |
| 3 |
| b |
∴f(x)=(
| a |
| b |
| b |
| 1 |
| 2 |
=（
| 3 |
=
| 3 |
| 1 |
| 2 |
=sin（2ωx-
| π |
| 6 |
由题意可知其周期为π，
∴
| 2π |
| 2ω |
故ω=1，
则f(x)=sin(2x-
| π |
| 6 |
∴由正弦型曲线的性质知：m=±1．（6分）
（2）将f(x)=sin(2x-
| π |
| 6 |
| π |
| 12 |
得到y=sin[2(x+
| π |
| 12 |
| π |
| 6 |
∴g（x）=sin2x，（8分）
∵g（x）=cosα，
∴sin2x=cosα，
∴由三角函数图象的周期性，可设交点横坐标分别为x1，
| 3π |
| 2 |
∵当x∈(
| π |
| 2 |
| 7π |
| 4 |
∴(
| 3π |
| 2 |
| 9 |
| 16 |
∴cosα=sin
| 9π |
| 8 |
| π |
| 8 |
| 5π |
| 8 |
∴α=
| 5π |
| 8 |
点评：本题考查数列与向量的综合运用，解题时要认真审题，注意三角函数恒等式的灵活运用．
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