题目内容

设定义域为[0，1]的函数同时满足以下三个条件时称为“友谊函数”：

（1）对任意的，总有≥0；

（2）；

（3）若成立，则下列判断正确的有     .

（1）为“友谊函数”，则；

（2）函数在区间[0，1]上是“友谊函数”；

（3）若为“友谊函数”，且0≤＜≤1，则≤.

 

【答案】

（1），（2），（3）

【解析】

试题分析：若且.则有成立.令0≤＜≤1.则（因为）.所以.所以函数f(x)是递增函数所以（3）正确..若为“友谊函数”则要满足且，则有成立.令.可得.又因为对任意的，总有≥0.所以f(0)=0成立.所以（1）为“友谊函数”，则正确. 函数在区间[0，1]上可得f(x) 0,f(1)=1成立.又因为是递增的.所以函数在区间[0，1]上是“友谊函数”正确.

考点：1.函数的单调性.2.新定义的函数的性质.3.夹值法的思想证明相等.

 

练习册系列答案
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设α∈(0，
π
2
)，函数f（x）的定义域为[0，1]，且f（0）=0，f（1）=1，当x≥y时，f(
x+y
2
)=f(x)sinα+(1-sinα)f(y)．
（Ⅰ）求f(
1
2
)，f(
1
4
)；
（Ⅱ）求α的值；
（Ⅲ）求g(x)=
3
sin(α-2x)+cos(α-2x)的单调增区间．
设α∈(0，
π
2
)，函数f（x）的定义域为[0，1]且f（0）=0，f（1）=1当x≥y时有f（
x+y
2
）=f（x）sinα+（1-sinα）f（y）．
（1）求f（
1
2
），f（
1
4
）；
（2）求α的值；
（3）求函数g（x）=sin（α-2x）的单调区间．
对于定义域为[0，1]的函数f（x），若同时满足以下三个条件：
①f（1）=1； 
②?x∈[0，1]，总有f（x）≥0； 
③当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，都有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2），则称函数f（x）为理想函数．
（Ⅰ）若函数f（x）为理想函数，求f（0）．
（Ⅱ）判断函数g（x）=2x-1（x∈[0，1]）和函数h(x)=sin
π2
x（x∈[0，1]）是否为理想函数？若是，予以证明；若不是，说明理由．
（III）设函数f（x）为理想函数，若?x0∈[0，1]，使f（x0）∈[0，1]，且f[f（x0）]=x0，求证：f（x0）=x0．
设定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足以下三个条件时称f（x）为“友谊函数”：（1）对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；（2）f（1）=1；（3）若x1≥0，x2≥0且x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立，则下列判断正确的有
①②③
①②③
．
①f（x）为“友谊函数”，则f（0）=0；
②函数g（x）=2x-1在区间[0，1]上是“友谊函数”；
③若f（x）为“友谊函数”，且0≤x1＜x2≤1，则f（x1）≤f（x2）．

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