Question

 已知定圆A：(x＋1)²＋y²＝16圆心为A，动圆M过点B(1,0)且和圆A相切，动圆的圆心M的轨迹记为C.

   （I）求曲线C的方程；

   （II）若点P(x₀,y₀)为曲线C上一点，求证：直线l: 3x₀x＋4y₀y－12＝0与曲线C有且只有一个交点。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解析：（I）圆A的圆心为A(－1，0)，半径r₁＝4，

设动圆M的圆心M(x,y),半径为r₂，依题意有r₂＝|MB|，

由|AB|=2，可知点B在圆A内，从而圆M内切于圆A，

故|MA|＝r₁—r₂，即|MA|＋|MB|＝4，

所以，点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．                           （4分）

设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，由2a＝4,2c＝2,可得a²＝4,b²＝3，

故曲线C的方程为＋＝1．  （6分）

   （II）当y₀＝0时，由＋＝1 可得y₀＝±2，

当x₀＝2，y₀＝0时，直线l的方程为x＝2，此时，

直线l与曲线C有且只有一个交点(2，0) ，

当x₀＝－2，y₀＝0时，直线l的方程为x＝－2，此时，

直线l与曲线C有且只有一个交点(－2，0) ，    9分

当y₀≠0时，联立 ，

消去y，得(3x₀²＋4y₀²)xx₀x＋y₀²＝0，        ①         （10分）

注意到, P(x₀,y₀)为曲线C上一点，即＋＝1，

于是方程①可以化简为xx₀x＋x₀²＝0 ，解得x＝x₀，y＝y₀ ，

即直线l与曲线C有且只有一个交点P(x₀,y₀)，

综上，直线l与曲线C有且只有一个交点，且交点为P(x₀,y₀)．               （12分）

评析：解析几何中的轨迹问题一直是出题的重要方向，圆锥曲线不考察第二定义以后，由圆在内构造的轨迹问题成为主要的出题方向（容易构造），需要考生注意平时积累；直线与圆、圆锥曲线间的位置关系的判定、证明、求值能有效考察考生的运算能力；