Question

已知函数f（x）=

1

2

x2+lnx．
（Ⅰ）求函数f（x）在区间[1，e]上的最大值、最小值；
（Ⅱ）求证：在区间（1，+∞）上函数f（x）的图象在函数g（x）=

2

3

x3图象的下方；
（Ⅲ）请你构造函数h（x），使函数F（x）=f（x）+h（x）在定义域（0，+∞）上，存在两个极值点，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）对函数f（x）进行求导，然后根据导函数的正负判断原函数的单调性，进而可求最值．
（2）先求出函数G（x）的解析式，然后求导进而判断函数的单调性，最后求出函数在（1，+∞）上的最小值大于0进而可得证．
（3）假设h（x）=-

5

2

x，然后表示出函数F（x）的解析式后进行求导运算，令导函数等于0求出x的值，最后再用函数的单调性可证明有两个极值点．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=x+

1

x

∵x＞0，∴f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数，
∴f（x）在区间[1，e]上的最大值为f（e）=

1

2

e2+1，
最小值为f（1）=

1

2

；
（Ⅱ）证明：设G（x）=g（x）-f（x），
则G（x）=

2

3

x3-

1

2

x2-lnx，
G′(x)=2x2-x-

1

x

=

2x3-x2-1

x

=

x2(x-1)+x3-1

x

，
当x∈（1，+∞）时，显然有G′（x）＞0，
∴G（x）在区间（1，+∞）上是单调增函数，
∴G（x）＞G（1）=

1

6

＞0在（1，+∞）上恒成立，
即g（x）＞f（x）在（1，+∞）上恒成立，
∴在区间（1，+∞）上函数f（x）的图象在函数g（x）=

2

3

x3图象的下方．
（Ⅲ）令h（x）=-

5

2

x，则F（x）=

1

2

x2+lnx-

5

2

x（x＞0），
F′(x)=x+

1

x

-

5

2

=

2x2-5x+2

2x

令F′（x）=0，得x=

1

2

，或x=2，令F′（x）＞0得，
0＜x＜

1

2

，或x＞2，令F′（x）＜0得，

1

2

＜x＜2
∴当h（x）=-

5

2

x时，函数F（x）=f（x）+h（x）在定义域（0，+∞）上，
存在两个极值点x₁=

1

2

，x₂=2．

点评：本题主要考查函数的零点、求导运算、根据导函数的正负判断函数的单调性．导数时高等数学下放到高中的内容，是高考的热点每年必考，要给予重视．