Question

已知两曲线y=x³+ax和y=x²+bx+c都经过点P（1，2），且在点P处有公切线，则当 x≥

1

2

时，logb

ax2-c

x

的最小值为（　　）

• A、-1
• B、1
• C、2
• D、

  1

  2

Answer 1

分析：先由曲线y=x³+ax经过点P（1，2），求得a值，进而利用导数的几何意义求得曲线y=x³+ax经过点P（1，2）的切线方程l；再由y=x²+bx+c经过点P（1，2）的切线方程也是l，可求得b、c的值；最后代入logb

ax2-c

x

，利用均值定理求最小值即可

解答：解：将P（1，2）代入两曲线y=x³+ax和y=x²+bx+c，得

a=1 b+c=1

设f（x）=x³+x，g（x）=x²+bx+c
∵f′（x）=3x²+1，∴f′（1）=4∵g′（x）=2x+b，∴g′（1）=2+b
∵两曲线在点P处有公切线
∴f′（1）=g′（1）=2+b=4，
∴b=2，c=-1
∴logb

ax2-c

x

=log2

x2+1

x

=log2(x+

1

x

)≥log₂2=1 （当且仅当x=1时取等号）
故选B

点评：本题考查了导数的几何意义和均值定理的运用，解题时要抓住要害，准确作答．