Question

设函数f(x)=a·(b+c)，其中向量a=(sinx,-cosx)，b=(sinx,-3cosx)，c=(-cosx,sinx),x∈R.

(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；

(2)将函数y=f(x)的图象按向量d平移，使平移后得到的图象关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d.

Answer 1

解：(1)由题意得f(x)=a·(b+c)=(sinx,-cosx)·(sinx-cosx,sinx-3cosx)

=sin²x-2sinxcosx+3cos²x=2+cos2x-sin2x=sin(2x+).

故f(x)的最大值为，最小正周期是=π.

(2)由sin(2x+)=0得2x+=kπ，

即x=-,k∈Z.

于是d=(-,-2),|d|=((k∈Z).

因为k为正数，要使|d|最小，则只要k=1,此时d=(-,-2)即为所求.