Question

14．2015年10月，中国共产党第十八届中央委员会第五次全体会议公报指出：坚持计划生育的基本国策，完善人口发展战略．全面实施一对夫妇可生育两个孩子政策，积极开展应对人口老龄化行动．为响应党中央号召，江南某化工厂以x千克/小时的速度匀速生产某种化纤产品，以提供生产婴儿的尿不湿原材料，生产条件要求1≤x≤10，已知该化工厂每小时可获得利润是100（5x+1-$\frac{3}{x}$）元．
（1）要使生产该化纤产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围：
（2）要使生产900千克该化纤产品获得的利润最大，问：该化工厂应该选择取何种生产速度？并求最大利润．

Answer 1

分析 （1）求出生产该产品2小时获得的利润，建立不等式，即可求x的取值范围；
（2）确定生产900千克该产品获得的利润函数，利用配方法，可求最大利润．

解答 解：（1）生产该产品2小时获得的利润为100（5x+1-$\frac{3}{x}$）×2=200（5x+1-$\frac{3}{x}$），
根据题意，200（5x+1-$\frac{3}{x}$）≥3000，即5x²-14x-3≥0，
∴x≥3或x≤-$\frac{1}{5}$，
又∵1≤x≤10，
∴3≤x≤10；
（2）设利润为y元，则生产900千克该产品获得的利润：
y=100（5x+1-$\frac{3}{x}$）×$\frac{900}{x}$
=90000（-$\frac{3}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$+5）
=9×10⁴[-3$（\frac{1}{x}-\frac{1}{6}）^{2}$+$\frac{61}{12}$]，
∵1≤x≤10，
∴x=6时取得最大利润9×10⁴×$\frac{61}{12}$=457500元，
故该厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457500元．

点评 本题考查函数模型的建立，考查解不等式，考查函数的最值，确定函数的模型是关键，注意解题方法的积累，属于中档题．