题目内容
已知等差数列{an}的首项为a,公差是b;等比数列{bn}的首项是b,公比是a,其中a、b都是正整数,且a1<b1<a2<b2<a3.
(1)求a的值.
(2)若对于{an}、{bn},存在关系式am+2=bn,试求数列{an}前n(n≥2)项中所有不同两项的乘积之和.
(1)求a的值.
(2)若对于{an}、{bn},存在关系式am+2=bn,试求数列{an}前n(n≥2)项中所有不同两项的乘积之和.
分析:(1)a1<b1<a2<b2<a3,结合等差数列{an}的首项为a,公差是b;等比数列{bn}的首项是b,公比是a,可得a的范围,从而可求a的值;
(2)利用am+2=bn,确定数列{an}的通项,从而可求数列{an}前n(n≥2)项中所有不同两项的乘积之和.
(2)利用am+2=bn,确定数列{an}的通项,从而可求数列{an}前n(n≥2)项中所有不同两项的乘积之和.
解答:解:(1)∵a1<b1<a2<b2<a3
∴a<b<a+b<ab<a+2b.
∵ab>b,a,b都为正整数,∴a>1
∵ab<a+2b,∴(a-2)b<a.
∵b>a,∴(a-2)b<b,即(a-3)b<0.
∵b为正整数,∴a-3<0,解得a<3.
∵a∈N,∴a=2;
(2)由(1)知a=2,则am=2+(m-1)b,bn=b•22n-1,
∵am+2=bn,∴2+(m-1)b+2=b•22n-1,∴b(22n-1-m+1)=4
∵b≥3,∴b=4
从而an=2+4(n-1)=4n-2;
设数列{an}前n(n≥2)项中所有不同两项的乘积之和为S
因为(a1+a2+…+an)2=[
]2=4n4,
a12+…+an2 =16(12+…+n2)-16(1+2+…+n)+4n=
n(4n2-1)
因为(a1+a2+…+an)2=a12+…+an2 +2S,
所以S=2n4-
n(4n2-1).
∴a<b<a+b<ab<a+2b.
∵ab>b,a,b都为正整数,∴a>1
∵ab<a+2b,∴(a-2)b<a.
∵b>a,∴(a-2)b<b,即(a-3)b<0.
∵b为正整数,∴a-3<0,解得a<3.
∵a∈N,∴a=2;
(2)由(1)知a=2,则am=2+(m-1)b,bn=b•22n-1,
∵am+2=bn,∴2+(m-1)b+2=b•22n-1,∴b(22n-1-m+1)=4
∵b≥3,∴b=4
从而an=2+4(n-1)=4n-2;
设数列{an}前n(n≥2)项中所有不同两项的乘积之和为S
因为(a1+a2+…+an)2=[
n(2+4n-2) |
2 |
a12+…+an2 =16(12+…+n2)-16(1+2+…+n)+4n=
4 |
3 |
因为(a1+a2+…+an)2=a12+…+an2 +2S,
所以S=2n4-
2 |
3 |
点评:本题考查等差数列与等比数列的综合,考查数列的通项与求和,考查学生的计算能力,属于中档题.
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