题目内容
如图1,,
,过动点A作
,垂足
在线段
上且异于点
,连接
,沿
将△
折起,使
(如图2所示).
(1)当的长为多少时,三棱锥
的体积最大;
(2)当三棱锥的体积最大时,设点
,
分别为棱
、
的中点,试在棱
上确定一点
,使得
,并求
与平面
所成角的大小.
(1)时, 三棱锥
的体积最大.(2)
解析试题分析:(1)解法1:在如图1所示的△中,设
,则
.
由,
知,△
为等腰直角三角形,所以
.
由折起前知,折起后(如图2),
,
,且
,
所以平面
.又
,所以
.于是
,
当且仅当,即
时,等号成立
故当,即
时, 三棱锥
的体积最大.
解法2:同解法1,得.
令,由
,且
,解得
.
当时,
;当
时,
.
所以当时,
取得最大值.
故当时, 三棱锥
的体积最大.
(2)解法1:以D为原点,建立如图a所示的空间直角坐标系D-.
由(Ⅰ)知,当三棱锥A-BCD的体积最大时,BD=1,AD=CD=2.
于是可得D(0,0,0,),B(1,0,0),C(0,2,0),A(0,0,2)M(0,1,1)E(,1,0),且BM=(-1,1,1).
设N(0,, 0),则EN=
,
-1,0).因为EN⊥BM等价于EN·BM=0,即(
,
-1,0)·(-1,1,1)=
+
-1=0,故
=
,N(0,
,0)
所以当DN=时(即N是CD的靠近点D的一个四等分点)时,EN⊥BM.
设平面BMN的一个法向量为n=(,
,
),由
可取
=(1,2,-1)
设与平面
所成角的大小为
,则由
,
,可得
,即
.
故与平面
所成角的大小为
解法2:由(Ⅰ)知,当三棱锥的体积最大时,
,
.
如图b,取的中点
,连结
,
,
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