题目内容
【题目】在四面体中,
分别是
的中点.则下述结论:
①四面体的体积为
;
②异面直线所成角的正弦值为
;
③四面体外接球的表面积为
;
④若用一个与直线垂直,且与四面体的每个面都相交的平面
去截该四面体,由此得到一个多边形截面,则该多边形截面面积最大值为
.
其中正确的有_____.(填写所有正确结论的编号)
【答案】①③④.
【解析】
补图成长方体,在长方体中利用割补法求四面体的体积,和外接球的表面积,以及异面直线的夹角,作出截面即可计算截面面积的最值.
根据四面体特征,可以补图成长方体设其边长为,
,解得
补成长,宽,高分别为的长方体,在长方体中:
①四面体的体积为
,故正确
②异面直线所成角的正弦值等价于边长为
的矩形的对角线夹角正弦值,可得正弦值为
,故错;
③四面体外接球就是长方体的外接球,半径
,其表面积为
,故正确;
④由于,故截面为平行四边形
,可得
,
设异面直线与
所成的角为
,则
,算得
,
.故正确.
故答案为:①③④.
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