Question

11．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，右焦点与抛物线y²=4x的焦点F重合．
（1）求椭圆的方程；
（2）过F的直线l交椭圆于A、B两点，椭圆的左焦点力F'，求△AF'B的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据题意得F（1，0），即c=1，再通过$e=\frac{1}{2}$及c²=a²-b²计算可得椭圆的方程；
（2）由题设l：x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线l与椭圆方程，结合韦达定理，得${S}_{△A{F}^{′}B}$=$\frac{12\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$，利用换元法计算即可．

解答 解：（1）根据题意，得F（1，0），∴c=1，
又$e=\frac{1}{2}$，∴a=2，∴b²=a²-c²=3，
∴椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）显然l的斜率不为0，设l：x=my+1，
联立直线l与椭圆方程$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化简，得（3m²+4）y²+6my-9=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则△＞0恒成立，
由韦达定理，得y₁+y₂=$-\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，y₁y₂=$\frac{-9}{3{m}^{2}+4}$，
∴${S}_{△A{F}^{′}B}$=$\frac{1}{2}|F′F|•|{y}_{1}-{y}_{2}|$
=|y₁-y₂|
=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$
=$\sqrt{（-\frac{6m}{3{m}^{2}+4}）^{2}-4\frac{-9}{3{m}^{2}+4}}$
=$\frac{12\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$，
令t=$\sqrt{{m}^{2}+1}$，t≥1，则m²=t²-1，
∴${S}_{△A{F}^{′}B}$=$\frac{12t}{3{t}^{2}+1}$=$\frac{12}{3t+\frac{1}{t}}$，
令$u（t）=3t+\frac{1}{t}\\;\\;（t≥1）$ （t≥1），则$u′（t）=\frac{3{t}^{2}-1}{{t}^{2}}$=$\frac{3（t+\frac{\sqrt{3}}{3}）（t-\frac{\sqrt{3}}{3}）}{{t}^{2}}$＞0，
∴u（t）在[1，+∞）上单调递增，
∴当t=1即m=0时，u_min（t）=u（1）=4，（${S}_{△A{F}^{′}B}$）_max=3，
故当m=0时，△AF'B的面积的最大值为3．

点评 本题考查椭圆的简单性质，直线与椭圆的位置关系，三角形的面积计算公式，韦达定理，换元法，函数的单调性等知识，属于中档题．