题目内容
27、设△ABC的三条边为a，b，c，求证ab+bc+ca≤a2+b2+c2＜2（ab+bc+ca）．
分析：由基本不等式可证 a2+b2+c2≥ab+bc+ca，根据a2 -ab-ac=a（a-b-c）＜0，可得 a2＜ab+ac，同理可得
b2 -＜ba+bc，c2 ＜ca+cb，相加可得 a2+b2+c2＜2（ab+bc+ca），从而证得命题．
b2 -＜ba+bc，c2 ＜ca+cb，相加可得 a2+b2+c2＜2（ab+bc+ca），从而证得命题．
解答：证明：∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2 +c2≥2ac，相加可得 2（a2+b2+c2）≥2ab+2bc+2ac，
∴a2+b2+c2≥ab+bc+ca．
又因为△ABC的三条边为a，b，c，∴a+b＞c，b+c＞a，a+c＞b．
∴a2 -ab-ac=a（a-b-c）＜0，a2＜ab+ac，同理可得，b2 -＜ba+bc，c2 ＜ca+cb，
相加可得 a2+b2+c2＜2（ab+bc+ca）．
综上可得 ab+bc+ca≤a2+b2+c2＜2（ab+bc+ca）成立．
∴a2+b2+c2≥ab+bc+ca．
又因为△ABC的三条边为a，b，c，∴a+b＞c，b+c＞a，a+c＞b．
∴a2 -ab-ac=a（a-b-c）＜0，a2＜ab+ac，同理可得，b2 -＜ba+bc，c2 ＜ca+cb，
相加可得 a2+b2+c2＜2（ab+bc+ca）．
综上可得 ab+bc+ca≤a2+b2+c2＜2（ab+bc+ca）成立．
点评：本题考查用综合法证明不等式，基本不等式的应用，以及三角形任意两边之和大于第三边，证明a2＜ab+ac，是解题
的关键．
的关键．
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）．△ABC的三个顶点都在椭圆T上，设三条边的中点分别为M，N，P．
为定值．