Question

20．已知向量$\overrightarrow{m}$=（0，-1），$\overrightarrow{n}$=（cosA，2cos²$\frac{C}{2}$），其中A、B、C是△ABC的内角，且A、B、C满足2B=A+C，求|$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$|的取值范围．

Answer 1

分析 运用向量加法的坐标运算求出$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$，代入模的公式后利用同角三角函数的基本关系式化简，最后根据角的范围确定模的范围．

解答 解：由已知，$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$=（cosA，-1+2cos²$\frac{C}{2}$）=（cosA，cosC），
2B=A+C，A+B+C=180°，
所以A+C=120°，
所以|$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$|²=cos²A+cos²C=1+$\frac{1}{2}$（cos2A+cos2C）=1+cos（A+C）cos（A-C）=1-$\frac{1}{2}$cos（2A-$\frac{2π}{3}$）=1+$\frac{1}{2}$sin（2A-$\frac{π}{6}$），
∵$-\frac{π}{6}$＜2A-$\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$，
∴$-\frac{1}{2}$＜sin（2A-$\frac{π}{6}$）≤1，
∴$\frac{3}{4}$≤1+$\frac{1}{2}$sin（2A-$\frac{π}{6}$）＜$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤|$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$|＜$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查了平面向量数量积的运算，考查了等差中项概念，解答过程中训练了三角函数的恒等变换，解答此题的关键是注意角的范围，此题是中档题